ÜÇGENLERDE BENZERLÝK

1. Benzer Üçgenler

Karþýlýklý açýlarý eþ ve karþýlýklý kenarlarý orantýlý olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

oraný yazýlýr

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

 eþitliðinde verilen k sayýsýna, benzerlik oraný yada benzerlik

katsayýsý denir.

•  k = 1 olan benzer üçgenlerde karþýlýklý kenarlar eþit olduðundan, bu üçgenlere eþ üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliði yazýlýrken eþ açýlarýn sýralanmasýna dikkat edilir.

2. Açý - Açý Benzerlik Teoremi

Karþýlýklý ikiþer açýlarý eþ olan üçgenler benzerdir.

þekilde verilen üçgenlerde

Ýkiþer açýlarý eþ olduðundan, üçüncü açýlarý da eþ olmak zorundadýr. Dolayýsýyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. 

m(C)=m(F)

3. Kenar - Açý - Kenar Benzerlik Teoremi

Ýki üçgenin karþýlýklý ikiþer kenarý orantýlý ve bu kenarlarýn oluþturduðu karþýlýklý açýlar eþ ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açýlarý eþ, bu açýlarýn kenarlarý da orantýlý ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açýsýnýn kýsa kenarýnýn EDF açýsýnýn kýsa kenarýna oraný, BAC açýsýnýn uzun kenarýnýn EDF açýsýnýn uzun kenarýna oranýna eþittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi

Ýki üçgenin karþýlýklý bütün kenarlarý orantýlý ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarlarý orantýlý olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantýlý kenarlarý gören açýlar eþtir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeþ  açýlar eþ   olacaðýndan   ADE ~ ABC dir.

Aðýrlýk merkezinden çizilen paralel doðru kenarlarý 1birime 2 birim oranýnda böler. ABC üçgeninde G aðýrlýk merkezi ve [KL] // [BC] |AK|=2|KB| |AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doðrular kendilerini kesen  doðrularý ayný oranda bölerler.  d1 // d2 // d3  doðrularý için Buradan  de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluþan içters  açýlarýn eþitliðinden,ABC ~ EDC olur. Buradan, eþitliði elde edilir. Buna kelebek benzerliði de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açýlarý karþýlýklý olarak eþ, diðer bütün elemanlarý orantýlýdýr.

ABC ~ DEF  Û

Burada k ya benzerlik oraný denir.

a. Benzer üçgenlerde orantýlý kenarlara ait yüksekliklerin oraný benzerlik oranýna eþittir.

b. Benzer üçgenlerde orantýlý kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarýnýn oraný benzerlik oranýna eþittir.

c. Benzer üçgenlerde eþ açýlara ait açýortay uzunluklarýnýn oraný benzerlik oranýna eþittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oraný benzerlik oranýna eþittir.

e. ABC üçgeninde içteðet çemberin yarýçapý r_ABC ve çevrel çemberin yarýçapý R_ABC , DEF üçgeninde içteðet çemberin yarýçapý r_DEF ve çevrel çemberin yarýçapý R_DEF olsun.

f. Alanlar oraný

Benzer üçgenlerin alanlarýnýn oraný benzerlik oranýnýn karesine eþittir.

g. Benzerlik oraný k = 1 olan üçgenler eþ üçgenlerdir.

Kenarlarý eþit aralýklý paralellerle bölünmüþ olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayýlarla orantýlý olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden, |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doðru parçasý ile þekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva

ABC üçgeni içerisinde alýnan bir P noktasý için,